À la règle et au compas

Le but de cet exercice est d'établir une construction à la règle et au compas de certaines racines `n` -ième d'un entier naturel fixé `a>1` .

1. \([\text{AB}]\) est un segment de longueur `a` . Le point `\text{H}` est le point du segment `[\text{AB}]` tel que `\text{AH}=1` . `\text{C}`  est le point du demi-cercle de diamètre `[\text{AB}]` tel que le triangle  \(\text{AHC}\) est rectangle en  `\text{H}` . On admet que le triangle  `\text{ABC}` est rectangle en  \(\text{C}\) .

    a. Démontrer que `cos \hat{\text{HAC}}=\frac{1}{\text{AC}}` et que  \(\cos \widehat{\text{HAC}}=\dfrac{\text{AC}}{a}\) .

    b. En déduire que \(\text{AC}=a^{1/2}\) .

2. a. Simplifier les expressions `(a^{1/2})^{1/2}` et `((a^{1/2})^{1/2})^{1/2}` .

    b. Décrire une méthode de construction  à la règle et au compas des nombres  \(\sqrt[4]{a}\) et  \(\sqrt[8]{a}\) .

     c. En utilisant cette méthode, quels nombres peut-on construire en théorie à partir d'un segment de longueur `a`  ?